Question

圓C：x²+y²-4x-5=0，直線l：kx-y+1=0．
（1）求證：不論實數(shù)k取什么值，直線l與圓C恒有兩個不同交點；
（2）當k=2時，直線l與圓C相交于A，B兩點，求A，B兩點間的距離；
（3）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，以及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立圓與直線方程，消去y得到關于x的一元二次方程，表示出根的判別式，根據(jù)完全平方公式大于等于0得到根的判別式恒大于0，故方程有兩個不相等的實數(shù)根，進而得到直線與圓恒有兩個交點；
（2）把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑，把k=2代入直線l方程中，利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離d，根據(jù)垂徑定理得到弦心距，弦的一半以及圓的半徑構成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出弦的一半，即可得到A，B之間的距離；
（3）觀察直線l發(fā)現(xiàn)，直線l恒過定點H，連接CH，過H作CH的垂線即為直線l，此時圓心到直線的距離d最大，利用勾股定理求出此時的d，然后根據(jù)圓的半徑，再利用勾股定理求出直線l與圓C交點A，B之間距離，即為直線l被圓C截得的線段的最短長度，根據(jù)點C和H的坐標求出直線CH的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的關系求出直線l的斜率，即可確定出直線l的方程．

解答：解：（1）聯(lián)立方程，消去y得（1+k²）x²+（2k-4）x-4=0，
△=（2k-4）²+16（1+k²）＞0恒成立所以直線l與圓C恒有兩個不同交點；
（2）把圓C的方程化為標準方程得：（x-2）²+y²=9，
∴圓心C坐標為（2，0），半徑r=3，又k=2，所以直線l：2x-y+1=0，
圓心C到直線l的距離d=

|5|

5

=

5

，
根據(jù)勾股定理得：AB=2

32- ( 5 )2

=4；
（3）直線恒過圓內(nèi)定點H（0，1），
當l⊥CH時，圓心到直線距離d最大，
在直角三角形OCH中，根據(jù)勾股定理得：d=

12+22

=

5

，
線段的最小長度AB=2

32-( 5 )2

=4，
∵k_CH=

1-0

0-2

=-

1

2

，∴k_l=2，
則直線l方程為2x-y+1=0．

點評：此題考查了方程與函數(shù)的綜合，勾股定理及垂徑定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系．學生在做（3）問時，通過觀察發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點H，連接CH，過H作出CH的垂線即為直線l，此時圓心到直線l的距離最大，理解這點是解本題的關鍵．