Question

已知偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）-f（x+2）=0，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x•e^x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）-f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函數(shù)的周期是2，由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）-f（x+2）=0，
∴f（x）=f（x+2），
即函數(shù)的周期是2，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x•e^x，
∴根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)可知，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，且f（0）=0，f（1）=e，
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=f（-x）=-x•e^-x，
由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），
作出兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）=k（x+2）在[-1，3]的圖象，
由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=e，
當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），
當(dāng)直線(xiàn)y=k（x+2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，e）時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)e=3k，解得k=

e

3

，
直線(xiàn)y=k（x+2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，e）時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)e=5k，解得k=

e

5

，
∴要想使函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
則直線(xiàn)應(yīng)該位于直線(xiàn)AB和AC之間，
∴此時(shí)直線(xiàn)的斜率k滿(mǎn)足

e

5

＜k＜

e

3

，
故k的取值范圍是（

e

5

，

e

3

），
故答案為：（

e

5

，

e

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的周期性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．