【題目】如圖所示的多面體中,是菱形, 是矩形,平面,,,.

(1)求證:平面平面

(2)在線段上取一點,當二面角的大小為時,求.

【答案】(1)見證明;(2)

【解析】

(1)取AE的中點M,先證明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角,再證明,即證平面平面 ;(2)以AC與BD交點O為坐標原點,0A、OB分別為軸建立直角坐標系,設(shè),利用向量法求得,解方程即得.

解:(1)取AE的中點M.由于ED⊥面ABCD,ED//FB,

∴DE⊥AD,ED⊥DC,F(xiàn)B⊥BC,F(xiàn)B⊥AB,又ABCD是菱形,BDEF是矩形,

所以△ADE,△CDE,△ABF,△CBF是全等直角三角形,AE=AF,CE=CF,

所以AM⊥EF,CM⊥EF,∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角

經(jīng)計算,

所以,即.

所以平面AEF⊥平面CEF.

(2)以AC與BD交點O為坐標原點,0A、OB分別為軸建立直角坐標系,由AD=BD=2,則A(,0,0),M(0,O,),C(﹣,0,0),E(0,﹣1,),

F(0,1,),.

平面CEF的一個法向量.

設(shè),則,

,

設(shè)平面NEF的法向量,則

,

,則,得.

因為二面角的大小為60°,

所以,

整理得,解得

所以.

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【題目】西安市自2017年5月啟動對“車不讓人行為”處罰以來,斑馬線前機動車搶行不文明行為得以根本改變,斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.

但作為交通重要參與者的行人,闖紅燈通行卻頻有發(fā)生,帶來了較大的交通安全隱患及機動車通暢率降低,交警部門在某十字路口根據(jù)以往的檢測數(shù)據(jù),得到行人闖紅燈的概率約為0.4,并從穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調(diào)查,對是否存在闖紅燈情況得到列聯(lián)表如下:

30歲以下

30歲以上

合計

闖紅燈

60

未闖紅燈

80

合計

200

近期,為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項違法行為,交警部門在該十字路口試行了對闖紅燈行人進行經(jīng)濟處罰,并從試行經(jīng)濟處罰后穿越該路口行人中隨機抽取了200人進行調(diào)查,得到下表:

處罰金額(單位:元)

5

10

15

20

闖紅燈的人數(shù)

50

40

20

0

將統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得頻率代替概率,完成下列問題.

(Ⅰ)將列聯(lián)表填寫完整(不需寫出填寫過程),并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析,在未試行對闖紅燈行人進行經(jīng)濟處罰前,是否有99.9%的把握認為闖紅燈與年齡有關(guān);

(Ⅱ)當處罰金額為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少;

(Ⅲ)結(jié)合調(diào)查結(jié)果,談?wù)勅绾沃卫硇腥岁J紅燈現(xiàn)象.

參考公式: ,其中

參考數(shù)據(jù):

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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