(本題滿分12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中點(diǎn),F(xiàn)是AD的中點(diǎn).

 ⑴求異面直線PD與AE所成角的大;

 ⑵求證:EF⊥平面PBC ;

 ⑶求二面角F—PC—B的大小..

 

 

【答案】

(Ⅰ)連結(jié)BD    ∵PD⊥平面ABCD,

∴平面PDB⊥平面ABCD,

過點(diǎn)E作EO⊥BD于O,連結(jié)AO.

則EO∥PD,且EO⊥平面ABCD

.∴∠AEO為異面直線PD,AE所成的角…………3分

∵E是PB的中點(diǎn),則O是BD的中點(diǎn),且EO=PD=1.

在Rt△EOA中,AO=,  .

即異面直線PD與AE所成角的大小為 …………………………… 4分

(Ⅱ)連結(jié)FO,    ∵F是AD的中點(diǎn),         ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD,

由三垂線定理,得EF⊥AD.又∵AD∥BC,∴EF⊥BC. ………………… 6分

連結(jié)FB.可求得FB = PF =則EF⊥PB.又∵PB∩BC = B,∴EF⊥平面PBC. …………………8分

(Ⅲ)取PC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,F(xiàn)G.則EG是FG在平面PBC內(nèi)的射影

∵PD⊥平面ABCD,  ∴PD⊥BC又DC⊥BC,且PD∩DC = D,

∴BC⊥平面PDC,∴BC⊥PC,∵EG∥BC,則EG⊥PC∴FG⊥PC

∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角 ………………………………………10分

在Rt△FEG中,EG=BC = 1,GF = ,

 ∴二面角F—PC—B的大小為…12分

說明:如學(xué)生用向量法解題,則建立坐標(biāo)系給寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給2分,第(1)問正確給

2分,第(2)問正確給4分,第(3)問正確給4分。

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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(本題滿分12分)

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ,的中點(diǎn).

(1)當(dāng)時,求平面與平面的夾角的余弦值;

(2)當(dāng)為何值時,在棱上存在點(diǎn),使平面?

 

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(本題滿分12分)如圖,在長方體中,已知上下兩底面為正方形,且邊長均為1;側(cè)棱,為中點(diǎn),中點(diǎn),上一個動點(diǎn).

(Ⅰ)確定點(diǎn)的位置,使得;

(Ⅱ)當(dāng)時,求二面角的平

面角余弦值.

 

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(本題滿分12分)

如圖3,在圓錐中,已知的直徑的中點(diǎn).

(I)證明:

(II)求直線和平面所成角的正弦值.

 

 

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(本題滿分12分)

如圖,三棱錐S—ABC中,AB⊥BC,D、E分別為AC、BC的中點(diǎn),SA=SB=SC。

   (1)求證:BC⊥平面SDE;

   (2)若AB=BC=2,SB=4,求三棱錐S—ABC的體積。

 

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