Question

設(shè)f（x）是定義在（-2，2）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，f（x）=-log_a（-x）-log_a（2+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）解方程f（x）=0；
（2）令t∈（0，2），判斷函數(shù)f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令-log_a（-x）=-log_a（2+x）=0，由已知條件能求出f（x）=0解集．
（2）由已知得f(x)=

logax(2-x)，x∈(0，2) 0，x=0 -loga(-x)(2-x)，x∈(-2，0)

，由此利用分類討論思想能求出函數(shù)f（x）在x∈（0，t）上的最值．

解答： 解：（1）令-log_a（-x）=-log_a（2+x）=0，
∴

-2＜x＜0 -x(2+x)=1

，
解得x=-1，
又∵f（x）是定義在（-2，2）上的奇函數(shù)，
∴f（x）=0解集為{-1，0，1}．
（2）∵f（x）是定義在（-2，2）上的奇函數(shù)，
∴f(x)=

logax(2-x)，x∈(0，2) 0，x=0 -loga(-x)(2-x)，x∈(-2，0)

，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=log_ax（2-x）在（0，t]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（t）=log_at（2-t），無最大值；
1＜t＜2，f（x）=log_ax（2-x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，t]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0，無最大值；
當(dāng)a＞1時(shí)，
0＜t≤1，f（x）=log_ax（2-x）在（0，t]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（t）=log_at（2-t），無最小值；
1＜t＜2，f（x）=log_ax（2-x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，t]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=0，無最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．