Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+a，g（x）=m lnx．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上的最大值為$\frac{3}{8}$，求實數(shù)a的值；
（3）若對任意x∈[1，e]，g（x）≥$\frac{f'（x）}{3}$+（m+$\frac{4}{3}$）x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調區(qū)間，求出f（x）的最大值，從而求出a的值即可；
（3）問題轉化為m≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜0或x＞$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）遞減；
（2）當x∈[-$\frac{1}{2}$，1]時，
f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）遞減，在（0，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，1]遞減，
∴f（x）_max=$\frac{3}{8}$+a=$\frac{3}{8}$，
解得：a=0；
（3）∵g（x）≥$\frac{f'（x）}{3}$+（m+$\frac{4}{3}$）x，
∴m（x-lnx）≤x²-2x，x∈[1，e]恒成立，
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx∈[0，1]，
∴x-lnx＞0，（x與lnx不能同時取到1），
∴m≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
則m≤h（x）_min，
∴h′（x）=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{{（x-lnx）}^{2}}$≥0，
∴h（x）在[1，e]遞增，
∴h（x）_min=h（1）=-1，
∴m≤-1，
即m的范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．