已知梯形中，∥，，

，、分別是、上的點(diǎn)，∥，，是的中點(diǎn).沿將梯形翻折，使平面⊥平面 (如圖) .

           

(Ⅰ) 當(dāng)時，求證：⊥ ；

(Ⅱ) 若以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為 ，求的最大值；

(Ⅲ)當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值.

解:（Ⅰ）（法一）作于，連， 

由平面平面知  平面

而平面，故又四邊形為正方形           

 ∴　 

又，故平面而平面   

∴　 .      （或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）

（法二）∵  平面平面      

 ∴　⊥面平面

∴ ⊥, ⊥,又⊥

故可如圖建立空間坐標(biāo)系．

則，，　　

∴ 

∴   .　 

（Ⅱ） ∵　，面面  

∴ 面

又由（Ⅰ）平面   ∴          

所以 ＝

 

     

即時有最大值為．

（Ⅲ）（法一）作于，作，連

由三垂線定理知

∴  是二面角的平面角的補(bǔ)角   

由∽，知

而，

∴　　又

∴　在中，

因?yàn)椤鲜?sub>銳角   ∴∠＝　 

而∠是二面角的平面角的補(bǔ)角

故二面角的余弦值為－.

（法二）設(shè)平面的法向量為

∵  ,，， 

∴   

則     即

取   則    ∴    

面的一個法向量為

則<> 

由于所求二面角的平面角為鈍角，

所以，此二面角的余弦值為－.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年岳陽一中二模理）（12分） 已知梯形中，∥，，， 、分別是、上的點(diǎn)，∥，，是的中點(diǎn)，沿將 梯形翻折，使平面平面(如圖)。

  （1）當(dāng)時，求證：；

  （2）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；當(dāng)取得最大值時，求二面角D-BF-C的大小。

 

 

         

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年山西忻州一中等四校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知梯形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，，．沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖)．是的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，求證：⊥ ；

（2）當(dāng)變化時，求三棱錐體積的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試數(shù)學(xué)試卷（奧數(shù)班）（解析版） 題型：解答題

已知梯形中，∥，，，、分別是、上的點(diǎn)，∥，，是的中點(diǎn)．沿將梯形翻折，使平面⊥平面 （如圖）.

（I）當(dāng)時，求證： ；

（II）若以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（III）當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年四川省高三第七次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知梯形中，∥，，

，、分別是上的點(diǎn)，∥，，是的中點(diǎn)。沿將梯形翻折，使平面⊥平面 (如圖) .

（Ⅰ）當(dāng)時，求證： ；

（Ⅱ）以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)取得最大值時，求鈍二面角的余弦值.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年安徽省合肥市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（滿分9分）如圖，已知梯形中，,。求梯形的高．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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