Question

19．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）C與C₁，C₂交于不同四點(diǎn)，這四點(diǎn)在C上的排列順序?yàn)镻，Q，R，S，求||PQ|-|RS||的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．曲線${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)四點(diǎn)在C上的排列順次為P，Q，R，S，其參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，t₄．曲線C的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄．曲線C的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃．∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x=0，
∵曲線${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)四點(diǎn)在C上的排列順序?yàn)镻，Q，R，S，其參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，t₄．
曲線C的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）代入拋物線方程y²=4x，
可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄=$\frac{8}{3}$．
曲線C的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃=-1．
∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|=|1+$\frac{8}{3}$|=$\frac{11}{3}$．
故答案為：$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．