Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

．
（Ⅰ）S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，證明：S_n=

1-an

2

（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

，求出通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n，然后經(jīng)過(guò)運(yùn)算即可證明．
（II）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：證明：（I）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=

1

3

，q=

1

3

∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

，
S_n=

1 3 (1-  1 3n )

1- 1 3

=

1- 1 3n

2

又∵

1-an

2

=

1- 1 3n

2

=S_n
∴S_n=

1-an

2

（II）∵a_n=

1

3n

∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-log₃3+（-2log₃3）+…-nlog₃3
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為：b_n=-

n(n+1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和以及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．