Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0和直線l：x+y-3=0
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）當圓C與直線l相切時，求圓C關(guān)于直線l的對稱圓方程；
（Ⅲ）若圓C與直線l交于P、Q兩點，是否存在m，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O？

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0可化為圓C：（x+

1

2

^）2+（y-3）²=-m+

37

4

，即可求m的取值范圍；
（Ⅱ）圓C與直線l相切，可得 R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，求出C(-

1

2

，3)關(guān)于直線l的對稱點，即可求圓C關(guān)于直線l的對稱圓方程；
（Ⅲ）設(shè)圓方程x²+y²+x-6y+m+λ（x+y-3）=0，可得圓心(-

1+λ

2

，-

λ-6

2

)，代入直線l得λ=-

1

2

，圓過原點得m=3λ=-

3

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0可化為圓C：（x+

1

2

^）2+（y-3）²=-m+

37

4

，
∵-m+

37

4

＞0，
∴m＜

37

4

-------------3分 
（Ⅱ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圓心C（-

1

2

，3），
∵圓C與直線l相切，
∴R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，-------------5分
設(shè)C(-

1

2

，3)關(guān)于直線l的對稱點M（a，b），則

b-3 a+ 1 2 ×(-1)=-1 a+ 1 2 2 + b-3 2 -3=0

，∴a=0，b=

7

2

，-------------7分
故所求圓的方程為：x2+(y-

7

2

)2=

1

8

------------8分
（Ⅲ）設(shè)圓方程x²+y²+x-6y+m+λ（x+y-3）=0，可得圓心(-

1+λ

2

，-

λ-6

2

)
代入直線l得λ=-

1

2

，
圓過原點得m=3λ=-

3

2

，檢驗滿足，
故存在m=-

3

2

，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O．------------12分

點評：本題考查直線與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．