【題目】如圖所示幾何體ABC﹣A1B1C1中,A1、B1、C1在面ABC上的射影分別是線段AB、BC、AC的中點,面A1B1C1∥面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形.
(1)求證:△A1B1C1是等邊三角形;
(2)若面ACB1A1⊥面BA1B1 , 求該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積;
(3)在(2)的條件下,求面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:如圖,設A1,B1,C1在底面ABC上的射影分別為E,F(xiàn),G,則A1E∥BF,
∵面A1B1C1∥面ABC,面面A1B1EF∩面ABC=EF,∴A1B1∥EF,
又E、F分別是線段AB、BC的中點,即AC∥EF,∴A1B1∥AC,且A1B1= AC,
同理,A1C1= ,B1C1= ,
∵△ABC是等邊三角形,∴△A1B1C1是等邊三角形
(2)解:設A1E=h,取A1B1的中點K,∵A1B= =BB1,∴BK⊥A1B1,
又面ACB1A1⊥面BA1B1,∴BK⊥面ACB1A1,即BK⊥GK,
由題意得 ,BK=GK= ,
∵BG= ,∴h= ,
∴該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積:
= +3
= =
(3)解:過B作AC的平行線l,則l為面ABC與面A1B1B的交線,
分別取A1B,AC的中點K,G,
則BK⊥A1B1,BG⊥AC,
∵A1B1∥AC∥l,∴∠KBG是面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的平面角,
∵BK⊥KG,∴cos∠KBG= = = ,
∴面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)設A1 , B1 , C1在底面ABC上的射影分別為E,F(xiàn),G,則A1E∥BF,推導出A1B1= AC,A1C1= ,B1C1= ,由此能證明△A1B1C1是等邊三角形.(2)設A1E=h,取A1B1的中點K,由 = +3 ,能求出該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積.(3)過B作AC的平行線l,則l為面ABC與面A1B1B的交線,分別取A1B,AC的中點K,G,則∠KBG是面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的平面角,由此能求出面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,曲線y=f(x)在點x=e2處的切線與直線x﹣2y+e=0平行.
(1)若函數(shù)g(x)= f(x)﹣ax在(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)﹣ 無零點,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由;
(2) 求證:函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù);
(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2014 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為: = , = ﹣ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知不過第二象限的直線l:ax-y-4=0與圓x2+(y-1)2=5相切.
(1)求直線l的方程;
(2)若直線l1過點(3,-1)且與直線l平行,直線l2與直線l1關于直線y=1對稱,求直線l2的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性 ;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,若函數(shù)有兩個極值點,求
的最大值.
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