如圖,在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中,已知A1A⊥底面ABC,A1A=A1B1=B1C1=a,B1B⊥BC,且B1B和底面ABC所成的角45°,求這個(gè)棱臺(tái)的體積.

【答案】分析:利用直線和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥側(cè)面A1ABB1,從而根據(jù)平面的垂線的定義又可得出BC⊥AB,∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,求出AB、BC,再利用棱臺(tái)的體積公式求出體積即可.
解答:解:因?yàn)锳1A⊥底面ABC,所以根據(jù)平面的垂線的定義有A1A⊥BC.
又BC⊥BB1,且棱AA1和BB1的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),
所以利用直線和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥側(cè)面A1ABB1,
從而根據(jù)平面的垂線的定義又可得出BC⊥AB.
∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.
并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,
∠ABB1=45°.
作B1D⊥AB交AB于D,則B1D∥A1A,故B1D⊥底面ABC.
∵Rt△B1DB中∠DBB1=45°,
∴DB=DB1=AA1=a,
∴AB=2a.
由于棱臺(tái)的兩個(gè)底面相似,故
Rt△ABC∽R(shí)t△A1B1C1
∵B1C1=A1B1=a,AB=2a,
∴BC=2a.
∴S=A1B1×B1C1=
S=AB×BC=2a2
V棱臺(tái)=•A1A•
=•a•
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
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如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1AB,點(diǎn)E,M分別為A1B,C1C的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A1,B,M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N

(Ⅰ)求證:EM∥平面A1B1C1D1;

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(Ⅲ)(文)設(shè)A1A=1,求棱臺(tái)MNC1-BA1B1的體積V.

(理)設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1,V2(V1<V2),求V1∶V2的值.

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