設(shè)關(guān)于x的方程2x2-ax-2=0的兩根為α,β(α<β),函數(shù)f(x)=
4x-ax2+1
,且|f(α)•f(β)|=4.
(1)證明:f(x)在[α,β]上是增函數(shù);
(2)當(dāng)α為何值時,f(x)在[α,β]上的最大值與最小值之差最?
分析:(1)由求導(dǎo)公式和法則求出f′(x)并化簡,再由條件得:函數(shù)y=2x2-ax-2在[α,β]上恒小于0,利用f′(x)的符號進(jìn)行判定函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)由韋達(dá)定理求出f(α)•f(β)的式子,并判斷出符號,由(1)可知函數(shù)f(x)在[α,β]上最大值
f(β)>0,最小值f(α)<0,而|f(α)•f(β)|=4,則當(dāng)f(β)=-f(α)=2時,f(β)-f(α)取最小值,從而得到結(jié)論.
解答:證明:(1)由題意得,f′(x)=
(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′
(x2+1)2

=
4(x2+1)-(4x-a)•2x
(x2+1)2
=
-4x2+2ax+4
(x2+1)2
=-
2(2x2-ax-2)
(x2+1)2
,
∵方程2x2-ax-2=0的兩根為α,β(α<β),
∴函數(shù)y=2x2-ax-2在[α,β]上恒小于0,
-
2(2x2-ax-2)
(x2+1)2
在[α,β]上恒大于0,即f′(x)>0在[α,β]上恒成立,
∴f(x)在[α,β]上是增函數(shù);
解:(2)∵方程2x2-ax-2=0的兩根為α,β(α<β),
∴α+β=
a
2
,αβ=-1,
∴f(α)•f(β)=
4α-a
α2+1
4β-a
β2+1
=
4αβ-4a(α+β)+a2
α2β2+α2+β2+1
=
-4-a2
4+
a2
4
>0,
∴由(1)知,函數(shù)f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∵|f(α)•f(β)|=4,
∴當(dāng)且僅當(dāng)f(β)=-f(α)=2時,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,
此時a=0,f(β)=2.
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,以及函數(shù)單調(diào)性的判定和函數(shù)最值等有關(guān)知識,同時考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的方程2x2-ax-2=0的兩根為α、β(α<β),函數(shù)f(x)=
4x-ax2+1

(1)求f(α)、f(β)的值;
(2)證明f(x)是[α,β]上的增函數(shù);
(3)當(dāng)α為何值時,f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值與最小值之差最?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的方程2x2+ax-9=0,bx2+x-6=0的解集分別為A、B,且A∩B={
32
}

(Ⅰ) 求a和b的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)f(x)=ax2+bx-8的零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省郴州一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)關(guān)于x的方程2x2+ax-9=0,bx2+x-6=0的解集分別為A、B,且
(Ⅰ) 求a和b的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)f(x)=ax2+bx-8的零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省郴州一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)關(guān)于x的方程2x2+ax-9=0,bx2+x-6=0的解集分別為A、B,且
(Ⅰ) 求a和b的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)f(x)=ax2+bx-8的零點(diǎn).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案