如圖，在平面角為60°的二面角α－l－β內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α、β分別為PC＝2 cm，PD＝3 cm，則

(1)垂足的連線CD等于多少？

(2)P到棱l的距離為多少？

答案：
解析：

　　解：∵PC、PD是兩條相交直線，

　　∴PC、PD確定一個(gè)平面，設(shè)交棱l于E，連CE、DE．

　　∵PC⊥，∴PC⊥l，

　　又∵PD⊥，∴PD⊥l．

　　∴l⊥平面，則l⊥CE、DE，故CED即為二面角的平面角，即CED＝60°．

　　∴CPD＝120°，△PCD中，PD＝3，PC＝2，由余弦定理得CD＝cm．由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四點(diǎn)共圓，且PE為直徑，由正弦定理得PE＝2R＝＝＝cm．

　　說(shuō)明：三垂線定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重視．


提示：

對(duì)于本題若這么做：過(guò)C在平面內(nèi)作棱l的垂線，垂足為E，連DE，則CED即為二面角的平面角．這么作輔助線看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上在證明CED為二面角的平面角時(shí)會(huì)有一個(gè)很麻煩的問(wèn)題，需要證明P、D、E、C四點(diǎn)共面．這兒，可以通過(guò)作垂面的方法來(lái)作二面角的平面角．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•月湖區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）設(shè)點(diǎn)Q滿足
AQ
=λ
QP
(λ＞0)，試探究：當(dāng)PB取得最小值時(shí)，直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于
π
4
？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=2a，E、F分別是PA和AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面PBC；
（2）求證：平面PDB⊥平面PAC；
（3）求EF與平面PAC所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•福州模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）當(dāng)PB取得最小值時(shí)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（i）求四棱錐P-BDEF的體積；
（ii）若點(diǎn)Q滿足
AQ
=λ
QP
 （λ＞0），試探究：直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于
π
4
？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•許昌三模）如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的余弦值．

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