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15.已知△ABC是等邊三角形,AB=AC=BC=3,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且滿足ADDB=CEEA=12,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,并使得平面A1DE⊥平面BCED
(Ⅰ)求證:A1D⊥EC;
(Ⅱ)求點(diǎn)E到平面A1DC的距離.

分析 (Ⅰ)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,且滿足ADDB=CEEA=12,求得AD和AE的值.進(jìn)而由余弦定理得DE,根據(jù)AD2+DE2=AE2,判斷AD⊥DE折疊后A1D⊥DE,根據(jù)平面A1DE⊥平面BCED,又利用面面垂直的性質(zhì)定理推斷出A1D⊥平面BCED,進(jìn)而可知A1D⊥EC.
(Ⅱ)作EH⊥DC于H,則EH?平面CED,平面A1DC∩平面CED=DC,可得EH⊥平面A1DC
 又作DG⊥AG于G,在△DEC中,12DCEH=12ECDG,EH=2114,即點(diǎn)E到平面A1DC的距離為2114

解答 證明:(Ⅰ)因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)為3,且滿足ADDB=CEEA=12,
所以AD=1,AE=2.在△ADE中,∠DAE=60°,
由余弦定理得DE=12+222×1×2×cos600=3
因?yàn)锳D2+DE2=AE2,所以AD⊥DE.折疊后有A1D⊥DE,
因?yàn)槠矫鍭1DE⊥平面BCED,又平面A1DE∩平面BCED=DE,
A1D?平面A1DE,A1D⊥DE,所以A1D⊥平面BCED
故A1D⊥EC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE=3,∠DEA=30°,A1D⊥平面BCED,
則∠DEC=150°,平面A1DC⊥平面CED,
作EH⊥DC于H,則EH?平面CED,平面A1DC∩平面CED=DC,
∴EH⊥平面A1DC,
又DC=DE2+EC22DEECcosDEC=7,
又作DG⊥AG于G,則DG=32
又在△DEC中,12DCEH=12ECDG,∴EH=2114
∴點(diǎn)E到平面A1DC的距離為2114

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線線垂直的判定,幾何法求點(diǎn)面距離,屬于中檔題,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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