Question

1．已知四棱錐P-ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M為PC中點．
（Ⅰ）在圖中作出平面ADM與PB的交點N，并指出點N所在位置（不要求給出理由）；
（Ⅱ）在線段CD上是否存在一點E，使得直線AE與平面ADM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，若存在，請說明點E的位置；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-MD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過M作MN∥BC，交PB于點N，由此求出結果．
（Ⅱ）以A為坐標原點，以直線AB，AD，AP所在直線建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段CD上存在中點E，使得直線AE與平面AMD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（Ⅲ）求出平面CMD的法向量和平面AMD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-MD-C的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）過M作MN∥BC，交PB于點N，連接AN，如圖，
則點N為平面ADM與PB的交點N（在圖中畫出）
由M為PC中點，得N為PB的中點．…（2分）
（Ⅱ）因為四棱錐P-ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，
以A為坐標原點，以直線AB，AD，AP所在直線建立空間直角坐標系如圖所示：
則A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），…（4分）
設在線段CD上存在一點E（x，1，0），則$\overrightarrow{AE}=（x，1，0）$…（5分）
設直線AE與平面AMD所成角為θ，平面AMD的法向量為$\overrightarrow u=（x，y，z）$，
則$\overrightarrow u⊥\overrightarrow{AM}，\overrightarrow u⊥\overrightarrow{AD}$，即$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\\ y=0\end{array}\right.$，令z=2，則$\overrightarrow u=（-1，0，2）$，…（7分）
因為直線AE與平面ADM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$sinθ=\frac{{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow u|}}{{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow u|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，所以x=1
所以在線段CD上存在中點E，
使得直線AE與平面AMD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（8分）
（Ⅲ）設平面CMD的法向量$\overrightarrow v=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$，
則$\overrightarrow v⊥\overrightarrow{CM}，\overrightarrow v⊥\overrightarrow{CD}$，即$\left\{\begin{array}{l}-{x^'}-\frac{1}{2}{y^'}+\frac{1}{2}{z^'}=0\\-2{x^'}=0\end{array}\right.$，令z′=-1，則y′=-1，
所以$\overrightarrow v=（0，-1，-1）$…．…（10分）
所以$cosϕ=\frac{\overrightarrow v•\overrightarrow u}{|\overrightarrow v||\overrightarrow u|}=-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
由圖形知二面角A-MD-C的平面角是鈍角，
所以二面角A-MD-C的平面角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…..…（12分）

點評 本題考查線面交點的作法，考查滿足線面角正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．