已知函數(shù)f(x)=(
x-1
x+1
2(x>1).
(1)求函數(shù)的反函數(shù);
(2)若不等式(1-
x
)f-1(x)>m(m-
x
)對[
1
4
,
1
2
]上的每一個x值都成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:反函數(shù),函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:(1)由已知得
x-1
x+1
=
y
,整理,得x=
1+
y
1-
y
,x,y互換,得函數(shù)的反函數(shù).
(2)由已知得1+
x
>m(m-
x
)成立,需f(
1
2
)>0且f(
2
2
)>0,解得-1<m<
3
2
.由此能求出實數(shù)m的取值范圍.
解答: 解:(1)∵f(x)=y=(
x-1
x+1
2,x>1,
x-1
x+1
=
y
,整理,得x=
1+
y
1-
y
,
x,y互換,得y=
1+
x
1-
x
,0<x<1,
∴函數(shù)的反函數(shù)f-1(x)=
1+
x
1-
x
(0<x<1)

(2)欲使不等式(1-
x
)f-1(x)>m(m-
x
)對[
1
4
,
1
2
]上的每一個x值都成立,
即1+
x
>m(m-
x
)成立,
x
=t,
1
2
≤t≤
2
2
,即1+t>m(m-t)在[
1
2
2
2
]成立,令f(t)=(1+m)t+1-m2
,
則需f(
1
2
)>0且f(
2
2
)>0,解得-1<m<
3
2

∴實數(shù)m的取值范圍是(-1,
3
2
).
點評:本題考查反函數(shù)的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意等價轉化思想的合理運用.
練習冊系列答案
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設函數(shù)f(x)=
2x,.x∈(-∞,2]
log2x,x∈(2,+∞)
,則滿足f(x)=4的x的值是( 。
A、2B、16
C、2或16D、-2或16

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已知函數(shù)f(x)=3x3-x+1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)求切于點(1,3)的切線方程;
(3)求函數(shù)f(x)在[-1,
1
3
]上的最大值與最小值.

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函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象上相鄰的最高點與最低點的坐標分別為(
12
,3)和(
11π
12
,-3),
求(1)求該函數(shù)的解析式
(2)若關于x的方程f(x)=a在(0,
6
)有兩個不同的實數(shù)根,求a的取值范圍.

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設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知對于任意的n∈N*,點(Sn,n)都在函數(shù)y=logb(x-r)(b>0,且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值;
(2)當b=2時,記bn=
n+1
8an
,求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn;
(3)若對一切的正整數(shù)n,總有Tn>m成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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已知α是三角形的一個內角,且滿足sinα+cosα=
1
5
,求tanα.

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已知函數(shù)y=3x,證明函數(shù)在x∈R上單調遞增.

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已知直二面角α-PQ-β,A∈PQ,B∈α,C∈β,CA=CB,∠BAP=45°,直線CA和平面α所成的角為30°.
(1)求證:BC⊥PQ;    
(2)若AC=2,求二面角B-AC-P的正切值.

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(1)已知tanx=2,求
cosx+sinx
cosx-sinx
的值;
(2)已知
a
,
b
不共線,
c
=3
a
+5
b
,
d
=m
a
-3
b
.當m為何值時,
c
d
共線?

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