(文)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當a=1時,求函數(shù)y=f(x)(x∈[
1e
,e])
的值域.
分析:(1)根據(jù)已知中f(x)=-ax+b+axlnx,求出f(e)=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)求出導數(shù)f'(x)=alnx,利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,分a>0,a<0兩種情形求解.
(3)當a=1時,f′(x)=ln,,求出導函數(shù)零點后,利用零點分段法,分類討論后,即可得到函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(1)由f(e)=-ae+b+aelne=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx.從而f′(x)=alnx.因為a≠0,故:
①當a>0時,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1; 
②當a<0時,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1.
綜上,當a>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);
當a<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(3)當a=1時,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.
由(2)可得,當x在區(qū)間內(nèi)變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
1
e
1
e
,  1
1 (1,e) e
f′(x)   - 0 +  
f(x) 2-
2
e
單調(diào)遞減 極小值1 單調(diào)遞增 2
又2-
1
e
<2,所以函數(shù)f(x)(x∈)的值域為[1,2].
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問題,屬于中檔、常規(guī)題.在(2)中涉及到了分類討論的思想方法.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(文)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當a=1時,求函數(shù)數(shù)學公式的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(文)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當a=1時,求函數(shù)y=f(x)(x∈[
1
e
,e])
的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江西省吉安市安福中學高三(上)第三次段考數(shù)學試卷 (理科)(解析版) 題型:解答題

(文)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當a=1時,求函數(shù)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省保定二中高三第三次大考數(shù)學試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

(文)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當a=1時,求函數(shù)的值域.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案