【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,的中點(diǎn),,四邊形為矩形,線(xiàn)段于點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求二面角的正弦值;

(3)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn),使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足題意,且

【解析】

(1)由題意結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值,然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得二面角的正弦值;

(3)假設(shè)點(diǎn)Q存在,利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量計(jì)算可得點(diǎn)Q的存在性和位置.

1)因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形,所以的中點(diǎn).連接,

中,分別為的中點(diǎn),所以,

因?yàn)?/span>平面平面,

所以平面.

2)易知兩兩垂直,如圖以為原點(diǎn),分別以所在直線(xiàn)為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

,所以.

設(shè)平面的法向量為,

解得

,得

所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為,

,據(jù)此可得 ,

則平面的一個(gè)法向量為

,于是.

故二面角的正弦值為.

3)設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件.

設(shè),整理得,

.

因?yàn)橹本(xiàn)與平面所成角的大小為,

所以

解得

,即點(diǎn)重合.

故在線(xiàn)段上存在一點(diǎn),且.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)若點(diǎn).為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)),則是否存在常數(shù),使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值?若存在,求出常數(shù)和這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), 為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),滿(mǎn)足,求的值.

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設(shè)直線(xiàn)的斜率為,證明:

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