Question

線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，離心率為的雙曲線C₂以A，B為焦點(diǎn)．若P是圓C₁與雙曲線C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PA|+|PB|=

1. A.
   
2. B.
   4
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

D
分析：由題設(shè)知雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2，雙曲線的實(shí)半軸a=，由P是圓C₁與雙曲線C₂的公共點(diǎn)，知||PA|-|PB||=2，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．
解答：∵圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的半徑r==，
線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，
離心率為的雙曲線C₂以A，B為焦點(diǎn)，
∴雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2，
∵P是圓C₁與雙曲線C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=，e==，
∴a=，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查|PA|+|PB|的值的求法，具體涉及到圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．