Question

19．已知對任意的n∈N^*，存在a，b∈R，使得1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+3×（n²-3²）+…+n（n²-n²）=$\frac{{n}^{2}}{4}$（an²+b）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別取n=1，2，得到關(guān)于a，b的方程組解得即可，
（Ⅱ）先根據(jù)當(dāng)n=1時，把n=1代入求值等式成立；再假設(shè)n=k時關(guān)系成立，利用變形可得n=k+1時關(guān)系也成立，綜合得到對于任意n∈N^*時都成立

解答 解：（Ⅰ）由題意1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+3×（n²-3²）+…+n（n²-n²）=$\frac{{n}^{2}}{4}$（an²+b），
上述等式分別取n=1，2得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（a+b）=0}\\{4a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+3×（n²-3²）+…+n（n²-n²）=$\frac{{n}^{2}}{4}$（n²-1），
證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1×（1²-1²）=0，右邊=$\frac{1}{4}$×1²（1²-1）=0，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即1×（k²-1²）+2×（k²-2²）+3×（k²-3²）+…+k（k²-k²）=$\frac{1}{4}$k²（k²-1），
則當(dāng)n=k+1時，左邊=1×[（k²-1²）+（2k+1）]+2×[（k²-2²）+（2k+1）]+…+k[（k²-k²）+（2k+1）]，
=1×（k²-1²）+2×（k²-2²）+3×（k²-3²）+…+k（k²-k²）+（2k+1）（1+2+3+…+k），
=$\frac{1}{4}$k²（k²-1）+（2k+1）$•\frac{1}{2}$k（k+1），
=$\frac{1}{4}$k（k+1）（k²+3k+2），
=$\frac{1}{4}$（k+1）²k（k+2），
=$\frac{1}{4}$（k+1）²[（k+1）²-1]，
所以當(dāng)n=k+1時等式成立，
綜上所述，對任意n∈N^*，原等式成立．

點評 本題主要考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列的通項等相關(guān)基礎(chǔ)知識．考查運算化簡能力、推理論證能力和化歸思想