【題目】如圖,公路AM,AN圍成一塊頂角為α的角形耕地,其中tanα=-2,在該塊土地中P處有一小型建筑,經(jīng)測(cè)量,它到公路AM,AN的距離分別為3km,km,現(xiàn)要過點(diǎn)P修建一條直線公路BC,將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園,為盡量減少耕地占用,問如何確定B點(diǎn)的位置,使得該工業(yè)園區(qū)的面積最?并求最小面積.

【答案】當(dāng)AB=5km時(shí),該工業(yè)園區(qū)的面積最小,最小面積為15km2

【解析】

試題分析:先確定點(diǎn)P的位置,再利用BC的斜率表示工業(yè)園區(qū)的面積,利用導(dǎo)數(shù)求其最值.A為原點(diǎn),ABx軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/span>tanα=-2,故直線AN的方程是y=-2x.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)PAM的距離為3,故y03.由P到直線AN的距離為,得,解得x01x0=-4(舍去),所以點(diǎn)P(13).顯然直線BC的斜率存在.設(shè)直線BC的方程為y3k(x1),k∈(2,0).令y0xB1.由解得yC.設(shè)△ABC的面積為S,則SxB×yC.由S0k=-k3.所以當(dāng)k=-時(shí),即AB5時(shí),S取極小值,也為最小值15

試題解析:解:如圖1,以A為原點(diǎn),ABx軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/span>tanα=-2,故直線AN的方程是y=-2x

設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)

因?yàn)辄c(diǎn)PAM的距離為3,故y03

P到直線AN的距離為,

,解得x01x0=-4(舍去),

所以點(diǎn)P(1,3)4

顯然直線BC的斜率存在.設(shè)直線BC的方程為y3k(x1),k∈(2,0)

y0xB16

解得yC8

設(shè)△ABC的面積為S,則S×xB×yC10

S0k=-k3

當(dāng)-2k<-時(shí),S0S單調(diào)遞減;當(dāng)-k0時(shí),S0,S單調(diào)遞增. 13

所以當(dāng)k=-時(shí),即AB5時(shí),S取極小值,也為最小值15

答:當(dāng)AB5km時(shí),該工業(yè)園區(qū)的面積最小,最小面積為15km216

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足:
①f(0)=f(1)=0;
②對(duì)所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|< |x﹣y|.
若對(duì)所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,則m的最小值為( )
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數(shù)f0(x)= (x>0),設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù),n∈N*
(1)求2f1 )+ f2 )的值;
(2)證明:對(duì)任意n∈N* , 等式|nfn1 )+ fn )|= 都成立.

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【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=

(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求BC的長(zhǎng).

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【題目】某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:

高一年級(jí)

高二年級(jí)

高三年級(jí)

女生

373

x

y

男生

377

370

z

已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到高二年級(jí)女生的概率是0.19.

(1)求的值;

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生,問應(yīng)該在高三年級(jí)抽取多少名?

(3)已知,,求高三年級(jí)中女生比男生多的概率.

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【題目】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為.

(Ⅰ)設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

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【題目】設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=12,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是

A. yx具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(

C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

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