已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2b-a3,當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時,f(x)<0;當(dāng)x∈(-2,6)時,f(x)>0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)設(shè)F(x)=-
k4
f(x)+4(k+1)x+2(6k-1)
,則當(dāng)k 取何值時,函數(shù)F(x)的值恒為負(fù)數(shù)?
分析:(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)解析式,結(jié)合當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時,f(x)<0;當(dāng)x∈(-2,6)時,f(x)>0,可得參數(shù)a,b的關(guān)系式,從而可求a、b的值;
(Ⅱ)欲使F(x)<0恒成立,只要使kx2+4x-2<0恒成立,對k討論,即可求得函數(shù)F(x)的值恒為負(fù)數(shù)時k的值.
解答:解:(Ⅰ)由題意,∵f(x)=ax2+a2x+2b-a3
又x∈(-2,6),f(x)>0;x∈(-∞,-2)∪(6,+∞),f(x)<0.
∴-2和6是方程ax2+a2x+2b-a3=0的兩根.
-2+6=-a
-2×6=
2b-a3
a
解得 
a=-4
b=-8

此時,f(x)=-4x2+16x+48
(Ⅱ)∵F(x)=-
k
4
(-4x2+16x+48)+4(k+1)+2(6k-1)=kx2+4x-2

∴欲使F(x)<0恒成立,只要使kx2+4x-2<0恒成立,則須要滿足:
①當(dāng)k=0時,原不等式化為4x-2<0,顯然不合題意,舍去.
②當(dāng)k≠0時,要使二次不等式的解集為x∈R,則必須滿足:
k<0
△=42-4k×(-2)<0
,解得k<-2
綜合①②得k的取值范圍為(-∞,-2).
點評:本題考查不等式的解集與方程解的關(guān)系,考查恒成立問題,考查學(xué)生的計算能力,求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
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34
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)>3

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