已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a
n}前n項和為S
n,首項為a
1,且
,a
n,S
n成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)若a
n2=(
)
bn,設(shè)c
n=
,求數(shù)列{c
n}的前n項和T
n.
分析:(Ⅰ)由題意知
2an=Sn+,an>0,當n=1時,得a
1=
;當n≥2時,
Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,兩式相減得a
n=S
n-S
n-1=2a
n-2a
n-1,由此能求出數(shù)列{a
n}的通項公式.
(Ⅱ)由
=2-bn=22n-4,知b
n=4-2n,故
Tn=+++…+,由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c
n}的前n項和T
n.
解答:(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題意知
2an=Sn+,an>0,…(1分)
當n=1時,2a
1=a
1+
,解得a
1=
,
當n≥2時,
Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,
兩式相減得a
n=S
n-S
n-1=2a
n-2a
n-1…(3分)
整理得:
=2…(4分)
∴數(shù)列{a
n}是以
為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴
an=a1•2n-1=×2n-1=2n-2.…(5分)
(Ⅱ)
=2-bn=22n-4∴b
n=4-2n,…(6分)
∴
Cn===Tn=+++…+…①
Tn=++…++…②
①-②得
Tn=4-8(++…+)-…(9分)
=
.…(11分)
∴
Tn=.…(12分)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意迭代法和錯位相減法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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n}滿足a
n+12=2a
n2+a
na
n+1,a
2+a
4=2a
3+4,其中n∈N
*.
(Ⅰ)求數(shù){a
n}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){b
n}的前n項和T
n,令b
n=a
n2,其中n∈N
*,試比較
與
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