精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.
（1）若，拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設為小于零的常數，點關于軸的對稱點為，求證：直線過定點
（1）；（2）參考解析

試題分析：（1）由題意可得通過假設直線方程聯立拋物線方程，消去y可得一個一元二次方程，通過韋達定理寫出根與系數的關系.由中點的橫坐標等于拋物線的焦點坐標的橫坐標可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.
（2）由直線方程與拋物線的方程聯立可得，關于點A,B的坐標關系，從而得到的坐標，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點.
試題解析：（1）解：由已知，拋物線的焦點坐標為.
設過點的直線的方程為，
由   得.
設，，則.
因為與中點的連線垂直于軸，所以，即.
解得 ，.
所以，直線的方程為.
（2）證明：設直線的方程為.
由  得，
則，且，即，且.
.
因為關于軸對稱，所以，直線，
又 ，，所以，
所以 .
因為 ，又同號，，
所以 ，
所以直線的方程為，
所以，直線恒過定點.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的動點，且|AB|＝，設O為坐標原點，動點P滿足＝＋.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)過點(，0)作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1，l2與點P的軌跡的相交弦分別為CD，EF，設CD，EF的弦中點分別為M，N，求證：直線MN恒過一個定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知△的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)， 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，求之間滿足的關系式；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求之間滿足的關系式.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設一個焦點為,且離心率的橢圓上下兩頂點分別為,直線交橢圓于兩點,直線與直線交于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：三點共線.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設,過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形， 則C2的離心率是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：＝1，橢圓C2以C1的短軸為長軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設直線l與橢圓C2相交于不同的兩點A、B，已知A點的坐標為(－2,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且＝4，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案