Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)y=f（x）在x=1出取得極值時(shí)，若關(guān)于x的方程f（x）+2x=x²+b在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得（x＞0）
若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)增，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞0，則f′（x）＞0時(shí)，x＞a，f′（x）＜0時(shí)，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）．單調(diào)減區(qū)間為（0，a）；
（2）∵y=f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=1-a=0，解得a=1
∴f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，亦即x²-3x+lnx+b=0
設(shè)g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0）
則g'（x）=2x-3+==
當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（0，）		（，1）	1	（1，2）	2
g'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	b-2+ln2

當(dāng)x=1時(shí)，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0
∴b--ln2≥0，b-2＜0，b-2+ln2≥0
∴+ln2≤b≤2
分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由y=f（x）在x=1處取得極值，可知f'（1）=0，從而可得函數(shù)解析式，設(shè)g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）的變化情況，確定函數(shù)的極值，利用關(guān)于x的方程f（x）+2x=x²+b在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，建立不等式，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．