Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時，．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．（5分）
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（6分）
（2）因為，則當(dāng)n≥2時，==．（9分）

下面證
令，則，
∴g（x）在（0，+∞）時單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，即當(dāng)x＞0時，
令，，，
，，，
以上n個式相加，即有
∴（14分）
分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．由此可知a_n=（n+1）•2ⁿ．
（2）由題意知==．然后再證明證．
點評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運用．