Question

位于函數(shù)的圖象上的一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…這一系列點的橫坐標構成以為首項，-1為公差的等差數(shù)列x_n．
（1）求點P_n的坐標；
（2）設拋物線C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的第一條的對稱軸都垂直于x軸，對于n∈N*第n條拋物線C_n的頂點為P_n，拋物線C_n過點D_n（0，n²+1），且在該點處的切線的斜率為k_n，求證．

Answer 1

【答案】分析：（1）位于函數(shù)的圖象上的一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…這一系列點的橫坐標構成以為首項，-1為公差的等差數(shù)列x_n
（2）欲證，關鍵是求得．先設出C_n的方程，把D點代入求得a，進而對函數(shù)進行求得求得切線的斜率，即k_n的表達式，進而用裂項法求得 ．
解答：解：（1）由于P_n的橫坐標構成以 為首項，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}，
故 ．
又P_n（x_n，y_n）位于函數(shù) 的圖象上，
所以y ．
所求點P_n（x_n，y_n）的坐標為（ ．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設C_n的方程為 ．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
故得：．
點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，及直線的方程，由由P_n的橫坐標構成等差數(shù)列{x_n}，我們不難根據(jù)已知求出數(shù)列{x_n}的通項公式，代入直線方程，求出對應的縱坐標，即可得到點的坐標．本題還考查了數(shù)列求和問題．考查了用裂項法求和的方法運用和對數(shù)列基礎知識的綜合運用．