Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$（x≥2）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由作差法證明：設(shè)x₁＞x₂≥2，化簡f（x）的解析式，求出并分析f（x₁）-f（x₂）的符號，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，分析可得f（x）≥f（2），又由函數(shù)的解析式分析可得f（x）＜3，綜合即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)，
證明如下：設(shè)x₁＞x₂≥2，
f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$=$\frac{3（x+1）-5}{x+1}$=-$\frac{5}{x+1}$+3，
則f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{5}{{x}_{1}+1}$+3）-（-$\frac{5}{{x}_{2}+1}$+3）=$\frac{5}{{x}_{2}+1}$-$\frac{5}{{x}_{1}+1}$=$\frac{5（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
又由x₁＞x₂≥2，
則有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函數(shù)f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：函數(shù)f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)，
則有f（x）≥f（2）=$\frac{4}{3}$，
又由f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$=$\frac{3（x+1）-5}{x+1}$=-$\frac{5}{x+1}$+3＜3，
則有$\frac{4}{3}$≤f（x）＜3，
即函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{4}{3}$，3）．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定及應(yīng)用，注意題干中x的取值范圍．