設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=n2
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=
1
(an+1)(an+1+1)
,求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn
(3)是否存在自然數(shù)m,使得
m-2
4
<Tn
m
5
對一切n∈N*恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)利用裂項法,可求數(shù)列的和;
(3)先確定
1
8
≤Tn
1
4
,再根據(jù)
m-2
4
<Tn
m
5
對一切n∈N*恒成立,建立不等式,即可求得m的值
解答:解:(1)∵Sn=n2,∴當(dāng)n=1時,a1=S1=1;
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1
a1=1滿足上式,∴an=2n-1;
(2)由bn=
1
(an+1)(an+1+1)
=
1
4
1
n(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)

∴Tn=
1
4
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)=
1
4
(1-
1
n+1
)=
n
4(n+1)

(3)Tn+1-Tn=
n+1
4(n+2)
-
n
4(n+1)
=
1
4(n+1)(n+2)
>0,∴{Tn}單調(diào)遞增,∴Tn≥T1=
1
8

∵Tn=
1
4
(1-
1
n+1
)<
1
4
,∴
1
8
≤Tn
1
4

使得
m-2
4
<Tn
m
5
對一切n∈N*恒成立,則
1
4
m
5
m-2
4
1
8

5
4
≤m<
5
2

∵m是自然數(shù),∴m=2.
點評:本題考查數(shù)列的通項與求和,考查恒成立問題,求得數(shù)列的通項與和是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(
x
+
2
)2(x>0)
,設(shè)正項數(shù)列an的首項a1=2,前n 項和Sn滿足Sn=f(Sn-1)(n>1,且n∈N*).
(1)求an的表達(dá)式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線ln的斜率為an,且ln與曲線y=x2相切,ln又與y軸交于點Dn(0,bn),當(dāng)n∈N*時,記dn=
1
4
|
Dn+1Dn
|-1
,若Cn=
d
2
n+1
+
d
2
n
2dn+1dn
,求數(shù)列cn的前n 項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正項數(shù)列{an}的前項和是Sn,若{an}和{
Sn
}都是等差數(shù)列,且公差相等,求:
(1){an}的通項公式;
(2)若a1,a2,a5恰為等比數(shù)列{bn}的前三項,記數(shù)列cn=cn=
24bn
(12bn-1)2
,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:對任意n∈N*,都有Tn<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正項數(shù)列{an}的前項和為Sn,q為非零常數(shù).已知對任意正整數(shù)n,m,當(dāng)n>m時,Sn-Sm=qm•Sn-m總成立.
(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列; 
(2)若正整數(shù)n,m,k成等差數(shù)列,求證:
1
Sn
+
1
Sk
2
Sm

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
2an2+3an+m
an+1
(n∈N*)
,①若恒有an+1≥an,求m的取值范圍.②在-3≤m<1時,證明:
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n

(2)設(shè)正項數(shù)列{an}的通項an滿足條件:(ann+nan-1=0(n∈N*),求證:0<an
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4
,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在等比數(shù)列{bn},使a1b1+a2b2+…anbn=(2n-1)•2n+1+2對一切正整數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論.

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