Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若{S_n}是首項(xiàng)為S₁，各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；(用S₁和q表示)

(2)試比較a_n＋a_n+2與2a_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)因?yàn)閧Sn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以Sn＝S1qn－1(q＞0)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝S1(q－1)所以＝ 　　(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋a3－2a2＝S1＋S1(q－1)q－2S1(q－1)＝＞0．所以a1＋a3＞2a2．當(dāng)n≥2時(shí)，an＋an+2－2an+1＝S1(q－1)qn－2＋S1(q－1)qn－2S1(q－1)qn－1＝S1(q－1)3qn－2．因?yàn)镾1＞0，qn－2＞0，所以，①當(dāng)q＝1時(shí)，(q－1)3＝0，an＋an+2＝2an+1；②當(dāng)0＜q＜1時(shí)，(q－1)3＜0，an＋an+2＜2an+1；③當(dāng)q＞1時(shí)，(q－1)3＞0，an＋an+2＞2an+1．綜上，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋a3＞2a2．當(dāng)n≥2時(shí)，若q＝1，則an＋an+2＝2an+1；若q＞1，則an＋an+2＜2an+1；若q＞1，則an＋an+2＞2an+1．

提示：

分類討論要做到不重不漏．本題中對(duì)q＞0分三種情況：①0＜q＜1；②q＝1；③q＞1．