Question

已知直線l過點P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于點A、B．

(1)求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；

(2)求直線l在兩坐標軸上的截距之和的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)設(shè)所求直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k＜0)． 　　當x＝0時，y＝2－3k：當y＝0時，x＝， 　　即A(，0)，B(0，2－3k)． 　　則S△AOB＝||·|2－3k|(k＜0) 　�。�＝－k－＋6． 　　∵k＜0，∴－k＞0，－＞0． 　　由均值不等式得－k＋(－)≥6． 　　當且僅當k＝－時等號成立． 　　∴S△AOB≥12，當a＝6，b＝4時，S△AOB有最小值12，此時直線l的方程為2x＋3y－12＝0． 　　分析：(1)直線l過點P(3，2)，且與兩坐標軸的正半軸相交，則直線l的斜率k是存在且小于零的．因此可設(shè)直線l的點斜式方程求解．此題的三值為：定值－P(3，2)；問值－－直線l的方程，即問斜率k； 　　最值－－S△AOB，應(yīng)由斜率k來建構(gòu)，并根據(jù)建構(gòu)的單元函數(shù)形式來選擇求最值的方法． 　　解法二：(1)設(shè)所求直線l的方程為＋＝1(a＞3，b＞2) 　　∵l過點P(3，2)，∴＋＝1．即b＝． 　　∴S△AOB＝a·b＝a·＝＝＝(a－3)＋＋6． 　　∵a＞3，∴a－3＞0．∴(a－3)＋≥2×3＝6． 　　當且僅當a＝6時等號成立． 　　∴S△ABC≥12，當a＝6，b＝4時，S△AOB有最小值12，此時直線l的方程為＋＝1，即2x＋3y－12＝0 　　(2)L＝a＋b＝a＋＝＝5＋(a－3)＋ 　　∵a＞3，∴L≥5＋2． 　　當且僅當a＝3＋，b＝2＋時． 　　L有最小值5＋2，此時直線l的方程為 　　x＋y－3－2＝0． 　　分析二：若從直線l與兩坐標軸的正半軸交于點A、B這一條件出發(fā)，可選設(shè)直線的截距式求解．此時的三值為： 　　定值：直線l過點P(3，2)所得的關(guān)系式，起到最值的函數(shù)關(guān)系式中二元化一元的作用； 　　問值：直線l的方程； 　　最值：S△AOB．

提示：

解法一：說明：由k建構(gòu)的函數(shù)關(guān)系式是一個分數(shù)函數(shù)，且分子為k的二次形，分母為k的一次形，常用均值不等式法求最值． 　　(2)設(shè)L為兩截距之和，則L＝2－3k＋＝5－3k－． 　　∵k＜0，∴－3k＋(－)≥2． 　　當且僅當k＝－時等號成立． 　　∴L≥5＋2． 　　當k＝－時，L有最小值5＋2，此時直線l的方程為x＋y－3－2＝0． 　　解法二：說明：此題至少還有兩種以上解法．