Question

已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,一條經過點(3,- )且方向向量為a=(-2,)的直線l交橢圓C于A、B兩點,交x軸于M點.又=2.

(1)求直線l的方程;

(2)求橢圓C長軸長的取值范圍.

Answer 1

解：(1)直線l過點(3,-),且方向向量a=(-2,),

∴l(xiāng)的方程為=,即y=-(x-1).

(2)設直線y=-(x-1)和橢圓+=1交于兩點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),和x軸交于點M(1,0),

由=2,知y₁=-2y₂.

將x=-y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中,得(b²+a²)y²-b²y+b²(1-a²)=0.

由韋達定理有

∵有兩交點,

∴Δ=(b²)²-4(b²+a²)·b²(1-a²)＞0,

化簡得5a²+4b²＞5.                                                             （3）

由（1）（2）消去y₂,得32b²=(4b²+5a²)(a²-1),

即4b²=＞0.                                                    （4）

將（4）代入（3）,得5a²+＞5.                                     （5）

可求得1＜a²＜9.

又橢圓的焦點在x軸上,則a²＞b².

∴4b²=＜4a².

綜上,得1＜a²＜;可解得1＜a＜.

∴所求橢圓長軸長2a的范圍是(2,).