Question

已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，若f（lnx）+f（ln

1

x

）＜2f（1），則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：運用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)：f（|x|）=f（x），原不等式即為f（|lnx|）＜f（1），再由單調(diào)性即得|lnx|＜1，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可解得x的范圍．

解答： 解：偶函數(shù)f（x）有f（-x）=f（x），且f（|x|）=f（x），
f（lnx）+f（ln

1

x

）＜2f（1），
即為f（lnx）+f（-lnx）＜2f（1）
即有2f（lnx）＜2f（1），
即為f（|lnx|）＜f（1）．
由于偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
則|lnx|＜1，
即-1＜lnx＜1，
解得，

1

e

＜x＜e．
故答案為：（

1

e

，e）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．