Question

已知函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

（a，b為實(shí)常數(shù)）是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的定義域?yàn)镽，求f（x）的值域；
（3）若對任意的x∈R，不等式f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由f（0）=0求得b，再由f（1）=-f（1）求得a；
（2）由（1）求得的a，b的值得到函數(shù)解析式，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域求得f（x）的值域；
（3）判斷出函數(shù)f（x）為減函數(shù)，把不等式不等式f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0轉(zhuǎn)化為4^x-k2^x+1＞-k2^2x+1-k+1，令2^x=t（t＞0），化為關(guān)于t的不等式（2k+1）t²-2kt+k-1＞0對于任意的t＞0恒成立，然后由三個(gè)二次結(jié)合得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即

b-1

a+2

=0，b=1，
∴f（x）=

1-2x

a+2x+1

，
又由f（1）=-f（-1）知

1-2

a+4

=-

1- 1 2

a+1

．
∴a=2，b=1；
（2）由（1）知f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
當(dāng)x∈R時(shí)，2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
∴f（x）∈（-

1

2

，

1

2

）；
（3）由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
由f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0恒成立，
等價(jià)于f（4^x-k2^x+1）＜-f（k2^2x+1+k-1）=f（-k2^2x+1-k+1），
即4^x-k2^x+1＞-k2^2x+1-k+1恒成立，
令2^x=t（t＞0），
則（2k+1）t²-2kt+k-1＞0對于任意的t＞0恒成立，
則

2k+1＞0 (-2k)2-4(2k+1)(k-1)＜0

或

2k+1＞0 k 2k+1 ≤0 k-1≥0

，
解得：k＞

5 +1

2

或k∈∅，
綜上，滿足對任意的x∈R，不等式f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

5 +1

2

，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)單調(diào)性的判定方法，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”的結(jié)合求解參數(shù)問題，是壓軸題．