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14.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)為偶函數(shù),其圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2π;
(I)求f(x)的解析式;
(2)把函數(shù)f(2x+π3)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位使所得函數(shù)的圖象關(guān)干點(diǎn)(π6,0)對(duì)稱,求m的最小值.

分析 (1)由圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2π.可得周期,從而得到ω=1,再由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),得到φ=π2,從而得到函數(shù)式;
(2)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換和三角函數(shù)的對(duì)稱性即可得解.

解答 解:(1)由圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2π.
即有T=2π,ω=2πT=1,
由函數(shù)f(x)=sin(ωx+Φ)(ω>0,0≤φ≤π)為偶函數(shù),
則φ=kπ+π2,k為整數(shù),由0≤φ≤π,則φ=π2,
則f(x)=sin(x+π2)=cosx;
(2)由(1)可得:f(x)=cosx,從而可得:f(2x+π3)=cos(2x+π3),
把函數(shù)f(2x+π3)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為:y=cos[2(x+m)+π3]=cos(2x+2m+π3),
又所得函數(shù)的圖象關(guān)干點(diǎn)(π6,0)對(duì)稱,
可得:2×π6+2m+π3=kπ+π2,k∈Z,
解得:m=kπ2-π12,k∈Z,
由于:m>0,
所以:當(dāng)k=1時(shí),m的最小值為5π12

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查三角恒等變換公式的運(yùn)用,考查函數(shù)的奇偶性和周期性及運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想和化簡(jiǎn)計(jì)算能力,屬于中檔題.

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