已知函數(shù)f(x)=ax2+
x
e
-lnx
(其中a為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=
1
2
時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并寫出其單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,求證:f(x)=0沒有實(shí)數(shù)解.
分析:(Ⅰ)由條件知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),求出f(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,
(II)令g(x)=ax+
1
e
(x>0),h(x)=
lnx
x
(x>0)
,當(dāng)a>0時,f(x)>
1
e
h′(x)=
1-lnx
x2
(x>0)
,令h′(x)>0,可得出h(x)在(0,e)上為增函數(shù),(e,+∞)上為減函數(shù),從而得出h(x)最大值,最終得到即f(x)=ax2+
x
e
-lnx
>0恒成立,從而f(x)=0無解.或者設(shè)f (x)的極小值點(diǎn)為x0,利用其最小值f(x0)=ax02+
x0
e
-lnx0
恒大于0即可證得f(x)=0沒有實(shí)數(shù)解.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)閤>0,
當(dāng)a=
1
2
時,f′(x)=2ax+
1
e
-
1
x
=x+
1
e
-
1
x
=
ex2+x-e
ex
,
令f'(x)>0,所以x>
-1+
1+4e2
2e
,
令f'(x)<0,所以0<x<
-1+
1+4e2
2e

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(
-1+
1+4e2
2e
,+∞)

單調(diào)減區(qū)間為(0,
-1+
1+4e2
2e
)
.-------------------------------------(7分)

(Ⅱ)解一:令g(x)=ax+
1
e
(x>0),h(x)=
lnx
x
(x>0)

當(dāng)a>0時,g(x)>
1
e
----------------------------------------------------------(10分)h′(x)=
1-lnx
x2
(x>0)

令h'(x)>0,則x∈(0,e)
所以h(x)在(0,e)上為增函數(shù),在(e,+∞)上為減函數(shù),
所以h(x)max=h(e)=
1
e
---------------------------------------------------------------(13分)
所以x>0時,g(x)>h(x)恒成立,即ax+
1
e
lnx
x

ax+
1
e
lnx
x
,f(x)=ax2+
x
e
-lnx
>0恒成立,
所以f (x)=0無解.----------------------------------------------------------------------(15分)
解二:設(shè)f (x)的極小值點(diǎn)為x0,則f(x0)=ax02+
x0
e
-lnx0
,
令g(x0)=
x0
e
-lnx0
,則g'(x0)=
1
e
-
1
x0
,---------------------------------(10分)
當(dāng)x0>e 時,g'(x0)>0,
當(dāng)x0<e 時,g'(x0)<0,
所以g(x0min=g(e)=0,即
x0
e
-lnx0
>0,------------------------------------------(13分)
f(x0)=ax02+
x0
e
-lnx0
>0恒成立.
所以f (x)=0無解.-------------------------------------------------(15分)
點(diǎn)評:本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性,基本思路是:當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時,導(dǎo)數(shù)大于等于零;當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時,導(dǎo)數(shù)小于等于零,已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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