Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

試題分析：（1）要想證明線面平行，由線面平行的判定定理可知：只需證明此直線與平面內(nèi)的某一直線平行即可，考慮到E為PC的中點(diǎn)，所以取中點(diǎn)為,連接和AF;然后利用三角形的中位線的性質(zhì)及空間中平行線的傳遞性可證BE//AF,再注意BE在平面PAD外,而AF在平面PAD內(nèi),從而可證BE∥平面PAD；（2）由已知可知直線DA、DC、DP兩兩互相垂直，所以我們可以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．從而由已知就可寫(xiě)出點(diǎn)Ｐ、C、A、B的坐標(biāo).進(jìn)而因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，求出E的坐標(biāo)，然后就可寫(xiě)出平面BDE內(nèi)不共線的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，如，再設(shè)出平面BDE的一個(gè)法向量為，利用可求出平面BDE的一個(gè)法向量；而平面BDC的一個(gè)法向量顯然為：，從而利用兩法向量的夾角公式：就可求得所求二面角的余弦值．
試題解析：（1）證明：令中點(diǎn)為，連接，     1分
點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
,.
四邊形為平行四邊形.   2分
,平面,
平面                4分
(三個(gè)條件少寫(xiě)一個(gè)不得該步驟分）   
 　　　　       5分
（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

則.     
因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E的坐標(biāo)為               6分
設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為，而
則令則所以             9分
而平面DBC的一個(gè)法向量可為
故                 12分
所以二面角E-BD-C的余弦值為。     13分