Question

17．△ABC的頂點A（3，4），B（0，0），C（c，0）（C＞0），又∠A為銳角，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)點A，B，C的坐標(biāo)即可求出$\overrightarrow{AB}=（-3，-4），\overrightarrow{AC}=（c-3，-4）$，而由條件0＜cosA＜1，從而得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}＞0$，并且$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不平行，這樣便可得出關(guān)于c的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3c+9+16＞0}\\{12+4（c-3）≠0}\\{c＞0}\end{array}\right.$，從而便可得出c的取值范圍．

解答 解：∵A（3，4），B（0，0），C（c，0）；
∴$\overrightarrow{AB}=（-3，-4），\overrightarrow{AC}=（c-3，-4）$；
又$cosA=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}＞0$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}＞0$，且$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$不平行；
∴-3c+9+16＞0，且12+4（c-3）≠0，c＞0；
∴解得$0＜c＜\frac{25}{3}$；
∴c的取值范圍為$（0，\frac{25}{3}）$．

點評 考查根據(jù)點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，向量余弦的計算公式，余弦函數(shù)的值域，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系．