Question

拋物線y²=4px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)．
（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x，0），求證：x＞3p；
（2）若直線l的斜率依次為p，p²，p³，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N₁，N₂，N₃，…，當(dāng)0＜p＜1時，求++…+的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線l方程為y=k（x+p），與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別大于0可求得k²的范圍，令A(yù)（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和y₁+y₂進(jìn)而得到AB中點(diǎn)坐標(biāo)，AB垂直平分線的方程可得，令y=0，得x==p+．根據(jù)k的范圍進(jìn)而證明原式．
（2）根據(jù)l的斜率依次為p，p²，p³時，AB中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）可得點(diǎn)N_n的坐標(biāo)，根據(jù)|N_nN_n+1|的表達(dá)式，進(jìn)而可得答案．
解答：（1）證明：設(shè)直線l方程為y=k（x+p），代入y²=4px．
得k²x²+（2k²p-4p）x+k²p²=0．
△=4（k²p-2p）²-4k²•k²p²＞0，
得0＜k²＜1．
令A(yù)（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2p）=，
AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
AB垂直平分線為y-=-（x-）．
令y=0，得x==p+．
由上可知0＜k²＜1，∴x＞p+2p=3p．
∴x＞3p．
（2）解：∵l的斜率依次為p，p²，p³，時，AB中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）．
∴點(diǎn)N_n的坐標(biāo)為（p+，0）．
|N_nN_n+1|=|（p+）-（p+）|=，=，
所求的值為[p³+p⁴++p²¹]=．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，并綜合考查了直線與拋物線的關(guān)系．