已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2是雙曲線M:的左右焦點(diǎn),其漸近線為,且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.
(1)求雙曲線M的方程;
(2)過(guò)F2的直線l與M相交于A、B兩點(diǎn),直線l的法向量為,且,求k的值;
(3)在(2)的條件下,若雙曲線M在第四象限的部分存在一點(diǎn)C滿足,求m的值及△ABC的面積S△ABC
【答案】分析:(1)由漸近線為,且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3,得到a=1,b=,c=2,由此能求出雙曲線方程.
(2)直線l的方程為y=k(x-2),由得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,再由韋達(dá)定理和平面向量知識(shí)能夠得到k.
(3)把 代入(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,得4x2+4x-9=0,此時(shí),所以.由此入手能求出m的值及△ABC的面積S△ABC
解答:解:(1)∵漸近線為,且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.
∴a=1,b=,c=2,
∴雙曲線方程為:.…(4分)
(2)直線l的方程為y=k(x-2),由得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0(*)
所以…(6分)
得x1•x2+y1•y2=0
即(1+k2)x1•x2-2k2(x1+x2)+4k2=0
代入化簡(jiǎn),并解得(舍去負(fù)值),
.…(9分)
(3)把 代入(*)并化簡(jiǎn)得4x2+4x-9=0,
此時(shí),
所以…(11分)
設(shè)C(x,y),由代入雙曲線M的方程解得(舍),m=2,所以,…(14分)
點(diǎn)C到直線AB的距離為,
所以.…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1、F2是雙曲
x2
9
-
y2
16
=1
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn),且|PF1|.|PF2|=32,求∠F1PF2的大�。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)A (0,)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于y = x對(duì)稱.

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)若Q是雙曲線線C上的任一點(diǎn),F1,F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點(diǎn)N的軌跡方程;

    (3)設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn),另一直線l經(jīng)過(guò)M (–2,0)及AB的中點(diǎn),求直線ly軸上的截距b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知F1、F2是雙曲數(shù)學(xué)公式的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn),且|PF1|.|PF2|=32,求∠F1PF2的大�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案