Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線y²=2px的焦點與F₂重合，若點P為橢圓和拋物線的一個公共點且cos∠PF₁F₂=$\frac{7}{9}$，則橢圓的離心率為$\frac{{7±\sqrt{17}}}{16}$．

Answer 1

分析 由P在拋物線上可得：cos∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{7}{9}$，又|PF₁|+|PF₂|=2a，解得|PF₁|，|PF₂|．在△PF₁F₂中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：由P在拋物線上可得：cos∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{7}{9}$，
又|PF₁|+|PF₂|=2a，解得|PF₁|=$\frac{9a}{8}$，|PF₂|=$\frac{7a}{8}$．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠PF₁F₂=$\frac{\frac{81}{64}{a}^{2}+4{c}^{2}-\frac{49}{64}{a}^{2}}{2×\frac{9a}{2}×2c}$=$\frac{7}{9}$，
化簡得8c²-7ac+a²=0，
∴8e²-7e+1=0，
解得e=$\frac{{7±\sqrt{17}}}{16}$．
故答案為：$\frac{{7±\sqrt{17}}}{16}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．