Question

如圖，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC，D是AB的中點(diǎn)，AB=

2

a，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

）
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當(dāng)角θ變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．
（Ⅲ）θ=

π

4

時(shí)，在線段VB上能否找到點(diǎn)E使二面角E-CD-B的大小也為

π

4

，若能，求λ=

BE

BV

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC，D是AB的中點(diǎn)，我們易得到VC⊥AC，VC⊥BC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到平面VAB⊥平面VCD；，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖，我們求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定直線AB與平面VCD的法向量，利用向量法證明，AB⊥平面VCD，再由面垂直的判定定理得到平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）設(shè)平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），并求出平面VAB的法向量

n

，并設(shè)直線BC與平面VAB所成角為φ，根據(jù)已知中AB=

2

a，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

），結(jié)合向量夾角公式，易得到直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．
（III）當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，則我們易求出滿足條件的V點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二面角E-CD-B的大小也為

π

4

，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ方程，解方程即可求出滿足條件的λ．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=

2

a，AC=BC=a，
∴AC⊥BC，
∵VC⊥AC，VC⊥BC，
∴VC⊥平面ABC，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖，

則A（a，0，0），B（0，a，0），D（

a

2

，

a

2

，0），V（0，0，

2 a

2

tanθ ），
∴

VD

=（

a

2

，

a

2

，-

2 a

2

tanθ ），

CD

=（

a

2

，

a

2

，0），

AB

=（-a，a，0），
∴

AB

•

CD

=0，

AB

•

VD

=0，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）設(shè)平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），
∴

n

•

AB

=0，

n

•

VD

=0，
∴

-ax+ay=0 a 2 x+ a 2 y-aztanθ=0

，
∴又

n

=（1，1，

2

tanθ

），
又∵

BC

=（0，-a，0）
設(shè)直線BC與平面VAB所成角為φ，
∴sinφ=|

BC • n

| BC |•| n |

|=

2

2

sinθ，
∵0＜θ＜

π

2

，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

．λ
（Ⅲ）當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，V點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，

2

2

a），
假設(shè)存在點(diǎn)E，則

BE

=λ

BV

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，（1-λ）a，

2

2

λa）
設(shè)平面CDE的法向量為

m

=（x，y，z）
∴

m

•

CE

=0，

m

•

CD

=0
∴

(1-λ)ay+ 2 2 λaz=0 a 2 x+ a 2 y=0

，
∴

m

=（1，-1，

2 (1-λ)

λ

）
∵二面角E-CD-B的大小為

π

4

，
∴cos

π

4

=

CV • m

| CV |•| m |

=

2

2

，
∴

1-λ

λ

=1，
∴λ=

1

2

，
故符合題意的λ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將面面垂直的證明及直線與平面的夾角均轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．