Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，AB=BC，D為AC中點，點P在棱BB₁上，且B₁P=λPB．
（1）求證：BD⊥AC₁；
（2）當(dāng)λ的值等于多少時，就有平面PAC₁⊥平面ACC₁A₁？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，AB=BC，D為AC中點，我們根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)，得到BD⊥平面ACC₁A₁進(jìn)而得到BD⊥AC₁；
（2）取AC₁的中點Q，連接QP，QD，利用三角形中位線定理，我們易得四邊形BPQD為平行四邊形，根據(jù)線面平行的第二判定定理，得PQ⊥平面ACC₁A₁，進(jìn)而再由面面垂直的判定定理得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵AB=BC，D為AC中點，
∴BD⊥AC
又由平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁
∴BD⊥AC₁；
（2）當(dāng)λ=1時，平面PAC₁⊥平面ACC₁A₁，
理由如下：
取AC₁的中點Q，連接QP，QD
則QD∥CC₁，且QD=

1

2

CC₁，PB∥CC₁，且PB=

1

2

CC₁，
∴QD∥PB且QD=PB
∴四邊形BPQD為平行四邊形
∴PQ∥BD，
∴PQ⊥平面ACC₁A₁
∴平面PAC₁⊥平面ACC₁A₁

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間線面垂直的判定、性質(zhì)、定義，并有靈活在進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)換是解答本題的關(guān)鍵．