Question

9．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的公比q；
（2）試問a₄與a₇的等差中項是數(shù)列{a_n}中的第幾項？
（3）若a₁=1，求數(shù)列{na_3n-2}（n∈N₊）的前n項和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的求和分別表示出S₃、S₉、S₆代入2S₉=S₆+S₃，注意公比不為1，計算即可得到答案；
（2）運用等差數(shù)列中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，計算即可得到所求值；
（3）求得數(shù)列{na_3n-2}即為{n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1}，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，化簡整理，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，
可得2S₉=S₆+S₃，
當(dāng)q=1時，2S₉=S₆+S₃，不成立．
即有q≠1時，2•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1（舍去）或-$\frac{1}{2}$，
可得q=-$\frac{\root{3}{4}}{2}$；
（2）a₄與a₇的等差中項為$\frac{{a}_{4}+{a}_{7}}{2}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{6}}{2}$
=$\frac{-\frac{1}{2}{a}_{1}+\frac{1}{4}{a}_{1}}{2}$=-$\frac{1}{8}$a₁，
由a₁q^n-1=-$\frac{1}{8}$a₁，即q^n-1=-$\frac{1}{8}$，
又q³=-$\frac{1}{2}$，可得n=10，
即有a₄與a₇的等差中項是數(shù)列{a_n}中的第10項；
（3）a₁=1，數(shù)列{na_3n-2}即為{n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1}，
則前n項和為T_n=1•（-$\frac{1}{2}$）⁰+2•（-$\frac{1}{2}$）+3•（-$\frac{1}{2}$）²+…+n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有-$\frac{1}{2}$T_n=1•（-$\frac{1}{2}$）+2•（-$\frac{1}{2}$）²+3•（-$\frac{1}{2}$）³+…+n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得，$\frac{3}{2}$T_n=1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得，前n項和為T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．