Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（4a-2）x+1（x∈[a，a+1]）的最小值為g（a）．求函數(shù)y=g（a）的解析式．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=x²+（4a-2）x+1我們可得函數(shù)的圖象是以x=1-2a為對(duì)稱軸，開口方向朝上的拋物線，分析區(qū)間[a，a+1]與對(duì)稱軸的關(guān)系，求出各種情況下g（a）的表達(dá)式，綜合寫成一個(gè)分段函數(shù)的形式，即可得到函數(shù)y=g（a）的解析式．

解答：解：∵函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x=1-2a．（1分）
（1）當(dāng)a+1≤1-2a時(shí)，即a≤0時(shí)，f（x）在[a，a+1]上是減函數(shù)，
g（a）=f（a+1）=（a+1）²+（4a-2）（a+1）+1=5a²+4a；（4分）
（2）當(dāng)a＜1-2a＜a+1時(shí)，即0＜a＜

1

3

時(shí)，
g（a）=f（1-2a）=（1-2a）²+（4a-2）（1-2a）+1=-4a²+4a（7分）
（3）當(dāng)1-2a≤a時(shí)，即a≥

1

3

時(shí)，f(x)在[a，a+1]上是增函數(shù)，
g（a）=f（a）=a²+（4a-2）a+1=5a²-2a+1．（10分）
所以g(a)=

5a2+4a(a≤0) -4a2+4a (0＜a＜ 1 3 ) 5a2-2a+1(a≥ 1 3 )

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x²+（4a-2）x+1分析出函數(shù)圖象及性質(zhì)，以確定后面分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)及各段上g（a）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．