Question

(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的A、B兩點．

（Ⅰ）如果直線過拋物線的焦點，求·的值；

（Ⅱ）如果·＝－4，證明直線必過一定點，并求出該定點．

 

Answer 1

（Ⅰ）-3（Ⅱ）證明略,過定點(2,0)

【解析】

試題分析：解決直線和拋物線的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯立方程：把所設直線方程與拋物線的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論.

試題解析：(1)由題意：拋物線焦點為(1,0)，設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. ----6分

(2)設l：x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直線l過定點(2,0)．∴若·＝－4，則直線l必過一定點．

考點：直線與拋物線綜合問題.