Question

已知兩點(diǎn)A（-1，2）、B（m，3）．
（1）求直線AB的斜率k與傾斜角α；
（2）求直線AB的方程；
（3）已知實(shí)數(shù)m∈[-

3

3

-1，

3

-1]，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）k=tanα=

3-2

m+1

=

1

m+1

，分m=-1、m＜-1、m＞-1 三種情況求傾斜角α．
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，直線的斜率不存在，寫出直線的方程；當(dāng)m≠-1時(shí)，由兩點(diǎn)式求直線的方程．
（3）已知實(shí)數(shù)m∈[-

3

3

-1，

3

-1]，利用不等式的性質(zhì)求出斜率tanα的范圍，再利用正切函數(shù)的單調(diào)性求出
傾斜角α的范圍．

解答：解：（1）∵已知直線AB的斜率k與傾斜角α，∴k=tanα=

3-2

m+1

=

1

m+1

，
當(dāng)m=-1時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角α=90°．
當(dāng)m＜-1時(shí)，k＜0，由α∈[0°，180° ），α=180°+arctan

1

m+1

．
當(dāng)m＞-1時(shí)，k＞0，α=arctan

1

m+1

．
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，直線的斜率不存在，直線的方程為 x=-1，
當(dāng)m≠-1時(shí)，由兩點(diǎn)式求直線的方程 

y-2

3-2

=

x+1

m+1

，即 x-（m+1）y+2m+3=0．
（3）已知實(shí)數(shù)m∈[-

3

3

-1，

3

-1]，∴-

3

3

≤m+1≤

3

．
①當(dāng)m+1≠0時(shí)，

3

3

≤

1

m+1

，或 

1

m+1

≤-

3

．
即 tan α≥

3

3

 或tan α≤-

3

，
∴90°＞α≥30°，或  90°＜α≤120°．
②當(dāng)m=-1時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角α=90°．
綜上，α∈[30°，120°]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，已知三角函數(shù)值求角的大小，以及用兩點(diǎn)式求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．