Question

給出以下五個命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②存在實數(shù)θ，使sinθ•cosθ=1
③函數(shù)y=sin（

5π

2

-x）是偶函數(shù)
④在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象只有一個公共點
⑤α，β都是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：①利用平方差公式及二倍角的余弦可得y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，從而可得其周期，繼而可判斷①；
②逆用二倍角的正弦可知sinθ•cosθ=

1

2

sin2θ，利用正弦函數(shù)的有界性可判斷②；
③利用誘導公式可知sin（

5π

2

-x）=cosx，利用奇偶性的概念可判斷③；
④令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，從而可知f（x）=x-sinx為R上的單調增函數(shù)，又f（0）=0，于是可判斷④；
⑤舉例α=

π

4

，β=-

5π

3

都是第一象限角，且α＞β，利用正切函數(shù)的性質及誘導公式可判斷⑤．

解答： 解：①y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，其最小正周期T=

2π

2

=π，故①正確；
②∵sinθ•cosθ=

1

2

sin2θ，∴（sinθ•cosθ）_max=

1

2

，∴不存在實數(shù)θ，使sinθ•cosθ=1，故②錯誤；
③∵函數(shù)y=f（x）=sin（

5π

2

-x）=cosx，∴f（-x）=cos（-x）=cosx=f（x），∴函數(shù)y=sin（

5π

2

-x）是偶函數(shù)，故③正確；
④令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx為R上的單調增函數(shù)，又f（0）=0，
∴f（x）=x-sinx只有一個零點，即在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象只有一個公共點，故④正確；
⑤α=

π

4

，β=-

5π

3

都是第一象限角，且α＞β，但tan

π

4

=1＜

3

=tan（-

5π

3

），故⑤錯誤．
綜上所述，正確命題的序號是①③④，
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，突出考查二倍角公式的應用，考查正弦函數(shù)的奇偶性、單調性及函數(shù)的零點的綜合應用，屬于中檔題．