Question

將二項式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開開式按x的降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項共有（　�。﹤�．

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點：二項式定理

專題：二項式定理

分析：寫出展開式的通項，利用前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求出n，進而可求展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)．

解答： 解：展開式的通項為T_r+1=

C

r n

•(

1

2

)r•x

2n-3r

4

，故展開開式按x的降冪排列，前三項系數(shù)分別為1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
再根據(jù)前三項系數(shù)成等差數(shù)列，可得2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，求得n=8，
∴當n=8時，T_r+1=

C

r 8

•(

1

2

)r•x

16-3r

4

，（r=0，1，2，…，8），
∴r=0，4，8時，展開式中x的指數(shù)是整數(shù)，
故選：A．

點評：本題考查二項展開式，考查等差數(shù)列的運用，考查展開式的特殊項，確定n是關鍵，屬于基礎題．